第三章 自控系统的时域分析

1． 基本要求

通过本章的学习，希望能够做到：

（1）正确理解时域响应的性能指标（M_p、t_r、t_d、t_p、e_ss等）、稳定性、系统的型别和静态误差系数等概念。

（2）牢固掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数。

（3）牢固掌握二阶系统的各种数学模型和阶跃响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼时域性能指标和结构参数。

（4）正确理解线性定常系统的稳定条件，熟练地应用劳斯判据判定系统的稳定性。

（5）正确理解和重视稳态误差的定义并能熟练掌握e_ssr、e_ssn的计算方法。明确终值定理的使用条件。

（6）了解改善系统动态性能及提高系统控制精度的措施。

2． 内容提要

（1） 时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应，来分析控制系统的稳定性和控制系统的动态性能及稳态性能。工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标评价系统的优劣。

许多自动控制系统，经过参数整定和调试，其动态特征往往近似于一阶或二阶系统。因此一、二阶系统的理论分析结果，常是高阶系统分析的基础。

（2）时域分析法的基本方法是拉氏变换法：

结构图 C (s) = F(s)R (s) c (t) = L^-1[C (s)]

（3）时域分析

① 一阶系统的时域分析

一阶系统的动态特性应用一阶微分方程描述。一阶系统只有一个结构参数，即其时间常数T。时间常数T反应了一阶系统的惯性大小或阻尼程度。一阶系统的性能由其时间常数T唯一决定。一阶系统的时间常数T，也可由实验曲线求出。

② 二阶系统的时域分析

二阶系统的性能分析，在自动控制理论中有着重要的地位。二阶系统含有两个结构参数，即阻尼比ξ和无阻尼振荡频率ω_n。阻尼比ξ决定着二阶系统的响应模态。ξ = 0时，系统的响应为无阻尼响应；ξ =1时，系统的响应称为临界阻尼响应；ξ >1时，系统的响应是过阻尼的；0 < ξ < 1时，系统的响应为欠阻尼响应。欠阻尼工作状态下，合理选择阻尼比ξ的取值，可使系统具有令人满意的动态性能指标。其动态性能指标有M_p、t_r、t_d、t_p，t_s，一方面可以从响应曲线上读取；二是它们与ξ、ω_n有相应的关系，只要已知ξ、ω_n，就能很容易求出动态性能指标。

（4）稳定性分析

控制系统是否稳定，是决定其能否正常工作的前提条件。任何不稳定的系统，在工程上都是毫无使用价值的。稳定，是指系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉扰动，系统仍能恢复到原工作状态的能力。应当特别注意，线性系统的这种稳定性只取决于系统内部的结构及参数，而与初始条件和外作用的大小及形式无关。

线性系统稳定的充分必要条件是：系统的所有闭环特征根都具有负的实部，或闭环特征根都分布在左半s平面。

判别系统的稳定性，最直接的方法是求出系统的全部闭环特征根。但是求解高阶特征方程的根是非常困难的。工程上，一般均采用间接方法判别系统的稳定性。劳斯判据是最常用的一种间接判别系统稳定性的代数稳定判据。

应用闭环特征方程各项的系数列写劳斯表，劳斯表各行第一列元的符号变化次数，即为系统闭环不稳定的根的个数。应用劳斯判据时，应注意两种特殊情况下，劳斯表的列写方法。

劳斯判据也可用来确定系统稳定工作时，或系统的闭环极点分布在某一特殊范围时，系统结构参数的允许变化范围。

系统闭环特征多项式各项同号且不缺项，是系统稳定的必要条件（注意不是充分条件）。

（5）稳态误差

稳态误差是系统很重要的性能指标，它标志着系统最终可能达到的控制精度。稳态误差定义为稳定系统误差信号的终值。稳态误差既和系统的结构及参数有关，也取决于外作用的形式及大小。

稳态误差可应用拉氏变换的终值定理计算，步骤如下：

① 判别系统的稳定性。只有对稳定的系统计算其稳态误差才有意义；

② 根据误差的定义求出系统误差的传递函数；

③ 分别求出系统对给定和对扰动的误差函数；

④ 用拉氏变换的终值定理计算系统的稳态误差。

要注意，终值定理的使用条件为，误差的相函数在右半s平面及虚轴上（原点除外）解析。系统稳定是满足终值定理使用条件的前提。如果误差函数在右半s平面及虚轴上不解析，只能应用定义计算稳态误差。

对三种典型函数（阶跃、斜波、抛物线）及其组合外作用，也可利用静态误差系数和系统的型数计算稳态误差。

采用具有对给定或对扰动补偿的复合控制方案，理论上可以完全消除系统对给定或（和）扰动的误差，实现输出对给定的准确复现。但工程上常根据输入信号的形式实现给定无稳态误差的近似补偿。

考核知识点：一阶、二阶及高阶系统的时域分析；线性系统的稳定性及劳斯(Routh)稳定判据；稳态误差计算。

重点：建立系统闭环极点与系统性能间的关系；二阶系统欠阻尼响应分析；控制系统的时域特征量、稳定判据、误差分析。

难点：闭环极点与系统性能间的关系。