分析上节所讨论的一阶系统的响应可见，该系统的零输入响应为

    式中 λ 为系统特征方程 M(p)=p-λ=0 的根，即系统的极点。系统的零输入响应取决于系统极点的分布和初始状态 ( 或初始条件 ) ，而与输入信号无关。

对于一般的线性定常单变量系统，当输入 u(t)=0 时其齐次微分方程可因式分解为

                             (3.6)

    式中λ1 ，λ2，…，λn 为系统特征多项式 M(p) 的根，即系统的极点。分两种情况分别讨论如下：

    1. 当极点互异时

式 (3.6) 的解等价于下列方程的解：

或

或

而这 n 个方程与式 (3.1) 的齐次方程相似，故可知它们的解分别为 。这些解的和即为式 (3.6) 的通解。系统的零输入响应为

                (3.7)

式中 c1 ，c2，…，cn为一组特定常数，可由初始条件确定。

    2. 当极点具有重根时

    对于具有 r 重根的系统：

其零输入响应为

其中特定常数 ci(i=1，2，…，r) 可根据给定的初始条件加以确定。

    一般的线性定常系统 设系统的特征多项式为

由上述讨论则可得，线性定常系统零输入响应的一般表达式为

                       (3.8)

    系统的零输入响应解的全体构成了一个线性空间。由系统极点的类型和分布所唯一确定的一组函数： ，是线性无关的，可视为该解空间的一组基 ( 函数 ) 。 结论： 即线性定常系统的零输入响应特性取决于系统极点的类型与分布，是具有普遍的意义。