基于输入输出模型系统的零状态响应

     (动画:响应曲线与阻尼比的关系)   

    以符号 g(t) 表示系统的单位脉冲响应，为

                    (3.15)

    系统零状态响应在复数域的表达式为

                    (3.16)

当 u(t)=δ(t) 时 U(s)=L[δ(t)]=1 ，于是在复数域系统的单位脉冲响应为 Y(s)=G(s) ，则

                                                                       (3.17)

    系统在任意输入信号作用下的零状态响应：在时域 可以表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的卷积分 ( 如式 (3.15) 所示 ) ； 在复 ( 数 ) 域 可以表示为系统的传递函数与输入 ( 拉氏变换式 ) 的乘积 ( 如式 (3.16) 所示 ) ； 系统的单位脉冲响应与传递函数构成拉氏变换对 ( 如式 (3.17) 所示 ) 。

     3.3.1  线性单变量系统的零状态响应

    对于任意的输入信号 u(t) 均可分解成许多宽度为 △t 的窄脉冲之和。假设 u(t) 可分解成 N 个窄脉冲，于是任意形式的输入信号可用一系列的脉冲函数来逼近：

根据叠加原理，由任意输入信号 u(t) 作用于系统所产生的零状态响应，等于 u(t) 所分解成的各脉冲函数作用于系统所产生的零状态响应之和 ( 如图 3.1 所示 ) ，即

图 3.1 线性定常系统的零状态响应

当 △t→0 时上式的求和则可用积分来替换，近似相等就趋于准确相等。故可得线性单变量系统在任意输入信号作用下的零状态响应为

    线性单变量系统零状态响应的零极点表示形式为

                    (3.18)

    可见 线性单变量系统在任意输入信号作用下的零状态响应： 在时域可以表示为单位脉冲函数与输入的卷积分 ( 如式 (3.15) 所示 ) ； 在复数域 可以表示为传递函数与输入 ( 拉氏变换式 ) 的乘积 ( 如 (3.16) 所示 ) ，而由式 (3.18) 可见 系统的零状态响应特性取决于系统和输入信号的零极点分布； 而且 G(s) 与 g(t) 构成一拉氏变换对。