3.4   控制系统运动的稳定性

    对于一个控制系统来说， 稳定性是其重要特性，也是系统能够正常工作的首要条件。粗略地说，稳定性是指，由于扰动的作用使系统的工作状态发生变化，若经过一定的时间后能恢复到原来的平衡状态或其附近的容许邻域内，则称系统是稳定的；若随着时间的推移偏离原来的平衡状态愈来愈厉害，则称系统是不稳定的。不稳定的系统是没有什么工程价值的。因此如何分析系统运动的稳定性，是控制工程师的一项重要工作。

    3.4.1   稳定性的概念和定义      (动画:稳定的概念) 

    1. 运动稳定性的基本概念

    为了建立稳定概念，先来看一个直观的例子。

    图 3-23( a ) 是一个单摆示意图。假设外界附加一扰动使该系统单摆由原平衡点“ a ”偏离到点“ b ”。当外力去掉后，摆在重力作用下，由点“ b ”回到点“ a ”，并由于惯性作用，继续向前摆动，直到到达点“ c ”。随后，在阻尼作用下，摆围绕“ a ”点作衰减振荡，直到所有能量耗尽，摆最终停留在原平衡点“ a ”。就平衡点“ a ”而言，在干扰作用下，摆发生了偏离，但扰动消失后，经过一定的时间，摆能恢复到原来的平衡点。这样的平衡点“ a ”称为稳定的平衡点。

    如果让摆处于另一平衡点“ d ”，如图 3-23 （ b ）所示。显然在扰动作用下，摆会离开平衡点“ d ”，这时，即使扰动消失，无论经过多长时间，摆也不会回到原平衡点“ d ”。这种平衡点称为不稳定平衡点。

    单摆的这种稳定概念（即无论扰动产生的初始偏差多大，只要扰动消失，系统最终总能回到原平衡点），可以推广至线性系统。而对于用非线性微分方程描述的非线性系统，当扰动产生的初始偏差较小时，扰动消失后，系统可能能回到某一稳定的平衡点；但当扰动造成的初始偏差超过一定范围，即使扰动消失，无论经过多长时间，系统也未必能回到原来稳定的平衡点上。也就是说，线性系统的小范围稳定和大范围稳定是等价的；而非线性系统则不然。小范围稳定的非线性系统不一定大范围稳定。

    2. 运动稳定性的定义

    运动稳定性的严格数学定义，首先由俄罗斯学者李雅普诺夫于 1892 年建立，一直沿用至今。有关李雅普诺夫稳定性的数学定义及稳定性定理，将在与本书配套的《现代控制理论》中介绍。本节只根据李雅普诺夫稳定性理论，从系统的输入输出关系出发，分析线性系统的稳定性问题。