(动画:二阶系统的数学模型)     (动画:二阶系统的阶跃响应)

   (动画:二阶系统动态性能指标)   (动画:二阶系统动态性能的改善)

    二阶系统传递函数的规范形式:

和

                           (3.38)

式中: ωn 称为 ( 闭环 ) 系统的无阻尼自然振荡角频率或自然频率 (rad/s); 称为 ( 闭环 ) 系统的阻尼比。相应的二阶规范系统的结构图, 如图 3.5 所示。

图 3.5 二阶规范系统结构图

    # 二阶规范系统的单位阶跃响应

    二阶规范系统的单位阶跃响应为

    (1) 欠阻尼二阶规范系统的单位阶跃响应

    这时 0<ζ<1 系统极点为一对共轭复根 :

可求得系统的单位阶跃响应为

(3.39)

或

                        (3.40)

                        (3.41)

称为阻尼角 ; 称为阻尼振荡 ( 角 ) 频率。相应的单位阶跃响应曲线 , 如图 3.6(b) 所示。

    可见 , 欠阻尼二阶规范系统的暂态响应特性取决于系统极点的分布。与一对共轭复极点相对应的系统暂态响应 , 为按指数规律衰减的简谐振荡 : 振荡的频率取决于极点的虚部 ωd; 而衰减的速度取决于极点的负实部ζωn 。

    无阻尼二阶规范系统的单位阶跃响应 由式 (3.39) 或 (3.40) 令阻尼比 ζ =0, 则可求得无阻尼二阶规范系统的单位阶跃响应为

或

                           (3.42)

相应的单位阶跃响应曲线 , 如图 3.6(a) 所示。

 
图 3.6 二阶规范系统的闭环极点分布和对应的单位阶跃响应曲线

    无阻尼二阶规范系统的暂态响应特性也是取决于系统极点的分布。极点为虚轴上的一对共轭虚根, 相应的系统暂态响应为等幅振荡 , 振荡的频率等于极点的虚部 ωn 。

    (2) 临界阻尼二阶规范系统的单位阶跃响应

这时 ζ=1 系统极点为一对负实重根:

由式 (3.38) 可求得系统的单位阶跃响应为

或

                    (3.43)

相应的单位阶跃响应曲线, 如图 3.6(c) 所示。

    可以看到: 临界阻尼时系统的暂态响应特性, 同样也取决于系统极点的分布; 与一对负实重极点相对应的系统暂态响应, 为单调变化的非周期响应。