8.3　离散系统的数学模型

　  8.3.1 系统的差分方程
　　一般n阶线性定常采样系统的输出 和 之间的关系，可用n阶常系数差分方程描述。
　　　　　　
　　式中：k——第k个采样周期；
　　n——系统的阶次。
　　在上述差分方程中未将采样周期T表示出来，除了必要外，一般都不在数学模型中标出。
　　工程中常用迭代法和Z变换法来求解差分方程。
　　1. 迭代法
　　根据给定差分方程和输出序列的初值，则可以利用递推关系，一步一步算出输出序列。
　　2. Z变换法
　　用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取Z反变换即求得输出序列。

　  8.3.2 脉冲传递函数   (动画:求取脉冲传递函数)

　　1. 脉冲传递函数的定义
　　在采样系统中，将零初始条件下，系统输出 的z变换 与输入 的z变换 之比，称为脉冲传递函数。
　　2. 采样系统的传递函数

　　图8.4是采样系统比较常见的一种结构形式，图中输出端和输出端的采样开关是为了便于分析而虚设的。

　　由图可知，

　　求上式采样信号的拉普拉斯变换，则有

　　考虑到输出信号采样后的拉普拉斯变换为：

　　两式合并，即有：

　　写成 z 变换的形式，即是闭环脉冲传递函数

　　式中， 为系统的开环脉冲传递函数。

　　如果两个串联环节之间设置了采样开关，则系统的开环脉冲传递函数为 ；明显与前式不同。

　　由于采样开关设置不同，系统的开环和闭环脉冲传递函数均不一样。

　　例8.7 单位反馈采样系统的方框图如图 8.5 所示，试求系统的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数。

               图 8.5

 　　解：由方框图得：

　　 由此可求得系统的开环脉冲传递函数：

　　 系统的闭环脉冲传递函数为：

　　 系统的误差脉冲传递函数为：

　　 此类问题需注意以下几点：

　　（1）采样系统含有零阶保持器，在根据开环传递函数 ，求开环脉冲传递函数 时，无论采用部分分式或留数法，零阶保持器传递函数的分子 不参与运算。

　　（2）采样系统的闭环脉冲传递函数不等于对应连续系统的闭环传递函数的 变换，即

　　（3）当采样开关在某些位置时，求不出闭环脉冲传递函数 ，而只能求得

　　 出 变换 。但这并不妨碍对采样系统的分析和校正。

　　 例8.8 采样系统如图8.5 所示，其中 ，求系统的单位阶跃响应。

　　 解： 根据例 8-1 的结果，系统的开环脉冲传递函数为

　　 系统的闭环脉冲传递函数为：

　　 单位阶跃信号的 变换为：

　　 于是输出信号的 变换为：

　　　用长除法求得

　　　输出的脉冲序列为：