8.4   离散系统的稳定性

         (动画:稳定性计算例1)    (动画:稳定性计算例2)

　   8.4.1 离散系统稳定的条件
　　由于 平面上的虚轴在 平面上的映射曲线是以坐标原点为圆心的单位圆。又因为某复变量 的实部如为负数，则此复变量的点 映射在 平面上则在上述单位圆之内。因此，其稳定的必要与充分条件是：系统的极点均在 平面上以原点为圆心的单位圆内。如 是系统闭环特征方程
　　　
的根，则 为系统稳定的必要与充分条件。

    8.4.2  W域稳定性判据—劳斯稳定判据   (动画:s平面与z平面的映射)
　　将平面上以坐标原点为圆心的单位映射到新坐标系成为虚轴，则可直接采用劳斯稳定判据去判别采样系统的稳定性了。这种坐标变换通常被称为 变换，即有
　　　　　　　　　　　　
　　相应的 反变换即为：
　　将闭环采样系统的特征方程进行 变换后，即可直接应用劳斯判据。

　　如闭环采样系统的特征方程为

　　式中， 为系统的开环脉冲传递函数。

　　令

　　代入上式，得

　　若令复变量 其中 为虚拟频率，则有

　　这样，即能直接应用奈奎斯特稳定判据了。

　　例8.9  采样系统如图8.5 所示，设 ，应用劳斯判据使系统稳定的临界 值。

　　解：根据例8.7，采样系统的开环脉冲传递函数为

　　系统的特征方程为：

　　化简得：

　　令 ，得：

　　化简得：

　　据此列出的劳斯表为：

　　可见系统稳定的条件是下列不等式得到满足：

　　由此可求得使系统稳定的临界 K 值为：

　　例8.10 讨论例8.7 采样系统的采样周期 T 对系统稳定临界 K 值的影响。

　　解 根据例8.7 ， 系统的特征方程为：

　　令 ，得：

　　化简得

　　由劳斯判据可知，二次方程的根位于 平面左半部的条件是特征方程的各项系数均大于零，即

　　或

　  由于当 时， ，当 时， ，当 时， ，故增益 K 和采样周期的关系可用下列分段函数表示

　　系统稳定的临界 K 值与采样周期有关，当 时， 达到最大值 10.5 。以此点为中心， T 增大或减小， 都随之减小。

　　本例说明采样系统稳定的临界 K 值和采样周期有关，这也是与连续系统的不同点。